Celal Mümtaz Akıncı wurde am 31. Januar 1957 in Afyonkarahisar geboren. Seine Grund-, Mittel- und Oberschulausbildung absolvierte er ebenfalls in Afyonkarahisar. Nach seinem Abschluss an der Juristischen Fakultät der Universität Ankara im Jahr 1982 absolvierte er sein Referendariat und begann 1984 in Afyonkarahisar als Rechtsanwalt zu arbeiten.
Seinen Militärdienst leistete er in Sivas als Militärrichter. In den Jahren von 1988 bis 2000 war er Mitglied des Vorstands der Anwaltskammer von Afyonkarahisar. Nach der außerordentlichen Generalversammlung im Jahr 2001 wurde er zum Präsidenten der Anwaltskammer von Afyonkarahisar gewählt.
Während seiner Amtszeit als Präsident der Anwaltskammer wurde er nach der Verfassungsänderung im Jahr 2010 als einer von drei Kandidaten ausgewählt, die von den Präsidenten der Anwaltskammern nominiert wurden. In der Sitzung der Großen Nationalversammlung der Türkei am 13. Oktober 2010 wurde er zum Mitglied des Verfassungsgerichts gewählt.
Während seiner Tätigkeit am Verfassungsgericht wurde er zum Präsidenten des Kompetenzkonfliktgerichts gewählt. Am 31. Januar 2022 trat er aufgrund der Altersgrenze von seinen Ämtern zurück.
Celal Mümtaz Akıncı ist verheiratet und Vater von vier Kindern.